Matemática Extraordinaria Pedro Tifa De Jesús: octubre 2014

Transformaciones Geométricas

Transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo plano.

Movimiento o isometría

Movimiento o isometría en el plano es una transformación que conserva las distancias. Puede ser:

1 Movimiento directo

Cuando la figura original y la figura transformada por el movimiento se pueden hacer coincidir sin salir del plano.

2 Movimiento inverso

Cuando la figura original y transformada no pueden hacerse coincidir sin salirse del plano.

Rotación o Giro

Dados un punto O y un ángulo α, se llama giro de centro O y ángulo α a una transformación G que hace corresponder a cada punto P otro P' = G (P) de modo que:

El sentido de giro positivo de es del contrario al movimiento de las agujas del reloj.

Los giros son movimientos isométricos, dado que conservan las distancias.

Rotación en el plano cartesiano

Para rotar un punto en el plano se simboliza así Rα, donde α es el ángulo de rotación. Para un punto P (x, y) en el plano tenemos.

R₉₀ (-y, x)

R_-90(y, -x)

R₁₈₀ (-x, -y)

Reflexión o simetría

Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'.

Coordenadas mediante una simetría de centro O (0,0)

Un punto P' homólogo de un punto P(x, y) mediante una simetría central de centro O (0,0) tiene de coordenadas:

Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.

P' = (-x, -y)

x' = -x y' = -y

Composición de simetrías centrales

1 Con el mismo centro

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involución. Es una transformación involutiva.

2 Con distinto centro

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

3. Centro de simetría

Un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.

Coordenadas de puntos mediante simetrías axiales

1 Coordenadas de un punto simétrico al eje de ordenadas

Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de ordenadas tienen sus abscisas opuestas y sus ordenadas iguales.

P(x, y) P(-x, y)

x = -x' y = y'

2 Coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas

Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de abscisas tienen sus abscisas iguales y sus ordenadas opuestas.

P(x, y) P(x, -y)

x = x' y = -y'

Composición de simetrías axiales

1 Simetría de ejes paralelos

La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene:

La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.

La dirección del vector es perpendicular a los ejes.

El sentido es el que va de e a e'.

2 .Simetría de ejes perpendiculares

La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.

3. Eje de simetría

El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.

Resumen

Traslaciones

1 Coordenadas de un punto mediante una traslación

2 Traslación de una recta

Una recta se transforma, mediante una traslación, en una recta paralela.

3 Traslación de una circunferencia

La homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original.

Composición de traslaciones